• Podemos compensar los datos faltantes ponderando los datos observados
• La idea es sobreponderar las observaciones que son similares a las faltantes
• Permítanme darles un ejemplo sencillo:
  • Supongamos que tenemos 40 personas en nuestro experimento
  • 30 son hombres y 10 son mujeres
  • El promedio general sería \(\frac{30}{40} \times\) promedio de los hombres + \(\frac{10}{40} \times\) promedio de las mujeres
• Ahora supongamos que 15 de los 30 hombres abandonan
• “Controlando por género” (es decir, ponderando):
  • Los 15 hombres restantes producen una estimación insesgada del promedio entre los 30 hombres
  • ¡Así que podemos contarlos dos veces!
  • Esta es la esencia de la ponderación por probabilidad inversa (IPW - Inverse Probability Weighting)

• IPW estima el ATE cuando se cumple \(MIPO|X\)
• Para estimar el ATE, necesitamos \(E[Y_i(1)]\) y \(E[Y_i(0)]\) (¡como ya saben!)
• Cuando se cumple \(MIPO|X\), \(E[Y_i(1)]\) es un promedio ponderado:

\[E[Y_i(1)] = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \frac{Y_i(1) r_i(1)}{\pi_i(z = 1, x)},\]

• \(\pi_i(z = 1, x)\): proporción de sujetos no ausentes entre los tratados con perfil de covariable \(x\)
• Los resultados faltantes no tienen efecto en la suma
• Resultados informados ponderados por \(1/\pi_i(z = 1, x)\)
• Las ponderaciones reemplazan los valores faltantes con copias de los valores no faltantes
• El esquema de ponderación se llama ponderación por probabilidad inversa porque las observaciones se ponderan por la probabilidad inversa de ser observadas

• El supuesto incorrecto de \(MIPO|X\) conduce a estimaciones engañosas
• IPW asigna las mayores ponderaciones a los subgrupos con alta deserción
• La estimación sesgada de un subgrupo puede influir desproporcionadamente en el ATE general
• El promedio de IPW puede estar más sesgado que los datos no ponderados
• La reponderación aumenta la variabilidad del muestreo
• En la práctica, los investigadores deben hacer suposiciones sobre la deserción
• Evaluar \(MIPO|X\): trabajo de detective y especulación 🕵️‍♂️
• Más información sobre IPW en este conjunto de diapositivas

• Imagina los resultados faltantes de aquellos que abandonaron

• No sabemos cuáles son esos resultados, pero podemos considerar dos escenarios extremos:

• Mejor escenario posible: Asumir que los desertores en el grupo de tratamiento habrían tenido los mejores resultados posibles, y los desertores en el grupo de control habrían tenido los peores resultados posibles (en relación con los datos observados)

• Peor escenario posible: Asumir que los desertores en el grupo de tratamiento habrían tenido los peores resultados posibles, y los desertores en el grupo de control habrían tenido los mejores resultados posibles

• Al calcular el ATE bajo estos supuestos extremos, obtenemos un rango (cota superior y cota inferior) que (con suerte 😅) contiene el ATE verdadero

• Para encontrar la cota superior de la estimación del efecto del tratamiento, sustituya 10 por los valores faltantes en el grupo de tratamiento y 0 por el valor faltante en el grupo de control

• Cota superior: \(\frac{(7 + 10 + 10 + 10)}{4} - \frac{(0 + 7 + 5 + 6)}{4} = \frac{37}{4} - \frac{18}{4} = 4.75\)

• Para encontrar la cota inferior de la estimación del efecto del tratamiento, sustituya 0 por los valores faltantes en el grupo de tratamiento y 10 por el valor faltante en el grupo de control

• Cota inferior: \(\frac{(7 + 10 + 0 + 0)}{4} - \frac{(10 + 7 + 5 + 6)}{4} = \frac{17}{4} - \frac{28}{4} = -2.75\)

• Entonces, el ATE está entre -2.75 y 4.75… ¡y de hecho lo es (2)! 🎉

• Pero como puedes ver, las cotas son bastante amplias…

• Lee (2009) sugirió que podemos recortar las cotas para hacerlas más informativas (y más estrechas)

• Más información sobre el análisis de cotas extremas en este conjunto de diapositivas

• Pero la mejor solución es tratar de anticipar y prevenir la deserción.

• En algunas ocasiones las unidades que son asignadas al tratamiento terminan no recibiéndolo. Es decir, no cumplen la asignación.

• Si todas las unidades asignadas al grupo de control no toman el tratamiento, pero sólo algunas unidades asignadas al tratamiento sí lo toman, estamos frente a un caso de incumplimiento unilateral.

• El efecto de ser asignado al tratamiento no es el mismo que el de recibir el tratamiento.

• El efecto de recibir el tratamiento es comunmente conocido como “efecto local promedio del tratamiento” (LATE) o efecto promedio del tratamiento para el cumplidor (CACE).

• La palabra “local” hace referencia a la idea de que el efecto solo aplica para las personas que toman el tratamiento cuando son asignadas a éste (el tipo de personas).

• Imagina que estás interesado en estudiar el efecto de las campañas electorales en la participación de los votantes
  • ¡Quizás si tocas las puertas de las personas y les hablas sobre la importancia de votar, serán más propensas a hacerlo!
• Diseñas un experimento en el que asignas aleatoriamente a 1000 personas para que reciban la campaña (grupo de tratamiento) y a 1000 para que no la reciban (grupo de control)
• Sin embargo… usualmente solo el 25% de las personas en el grupo de tratamiento reciben realmente la campaña
  • El resto no está en casa, se niega a hablar, etc.
• Así que tenemos 250 personas tratadas y 1000 en el grupo de control
• ¿Qué harías? 🤔

• Como no podemos estimar correctamente el ATE con incumplimiento, nos centramos en el efecto causal promedio del cumplidor (CACE)
• El CACE intenta responder a esta pregunta: “Para aquellos individuos que realmente escucharon el mensaje, ¿cuál es el efecto del mensaje en su probabilidad de votar?”
• Sea la asignación experimental del sujeto \(i\), \(z_i\).
• Cuando \(z_i = 1\), el sujeto es asignado al grupo de tratamiento, y cuando \(z_i = 0\), el sujeto es asignado al grupo de control.
• Sea \(d_i(z)\) una representación de si el sujeto \(i\) es realmente tratado, dada la asignación \(z_i\).
• Para abreviar, escribamos \(d_i(z = 1)\) como \(d_i(1)\) y \(d_i(z = 0)\) como \(d_i(0)\).
• Para el incumplimiento unilateral, \(d_i(0)\) es siempre 0 para todas las personas en los grupos de control, pero \(d_i(1)\) puede ser 0 o 1.
• Formalmente, el CACE se define como:

\[ CACE \equiv \frac{\sum_{i=1}^{N}(Y_i(1) - Y_i(0))d_i(1)}{\sum_{i=1}^{N}d_i(1)} = E[(Y_i(d = 1) - Y_i(d = 0)) | d_i(1) = 1] \]

• En otras palabras, es el efecto del tratamiento, pero solo proveniente de los cumplidores, dividido por el número de cumplidores
• El CACE también se conoce como Efectos Locales Promedio del Tratamiento (LATE). Más en este link.

• Volvamos a nuestro ejemplo de campaña electoral
• Tenemos las siguientes regresiones para estimar el CACE:
  • Primera etapa: \(TRATADO_i = \alpha_0 + \alpha_1 ASIGNADO + \epsilon_i\)
  • Segunda etapa: \(VOTÓ_i = \beta_0 + \beta_1 TRATADO + u_i\)
• La primera etapa estima el efecto de la asignación del tratamiento sobre el estado del tratamiento
• La segunda etapa estima el efecto del estado del tratamiento sobre el resultado
• El coeficiente \(\beta_1\) es el estimador de mínimos cuadrados en dos etapas (MC2E) del CACE
• Más información sobre el CACE y las variables instrumentales en este link

• Esto no es un problema si diseñas un estudio que permita investigar el derrame, es decir, que los resultados de una unidad pueden depender del tratamiento de otras unidades.

• Para investigar los efectos de derrame:

• Podemos recolectar datos de la variable de resultado para las unidades que nunca fueron elegibles para la asignación aleatoria al tratamiento, pero que estaban cerca de unidades que sí eran elegibles para el tratamiento y que pudieron verse afectadas por efectos de derrame.

• Podemos utilizar un diseño de asignación aleatoria en dos etapas.

• Podemos asignar grupos de unidades (p. Ej., Distritos) a diferentes niveles de intensidad de tratamiento (p. Ej., Usar una proporción diferente de aldeas en los distritos asignados al tratamiento).

• Los resultados potenciales dependen tanto del estado de tratamiento propio como del compañero de casa
• El sistema de notación revisado tiene en cuenta las influencias de tratamiento dual (\(Y_{ab}\) donde):
  • a = estado de tratamiento del compañero de casa (0=control, 1=tratado)
  • b = estado de tratamiento propio (0=control, 1=tratado)

• Supuesto clave: Contención estricta en el hogar
  • Resultados solo afectados por intervenciones dentro del hogar
  • Sin interferencia de asignaciones de tratamiento externas

• De los cuatro resultados potenciales, surgen estimandos clave:
  • \(Y_{01} - Y_{00}\): Efecto directo del tratamiento cuando el compañero de casa no es tratado
  • \(Y_{11} - Y_{10}\): Efecto del tratamiento cuando el compañero de casa recibe correo
  • \(Y_{10} - Y_{00}\): Efecto de derrame en no tratados con compañero de casa tratado
  • \(Y_{11} - Y_{01}\): Interacción de derrame entre pares tratados
• Consideraciones críticas:
  • Los efectos dependen del estado de tratamiento del compañero de casa
  • Los estimandos capturan influencias combinadas de:
    • Impactos directos de la intervención
    • Derrames por comunicación
    • Efectos de recursos compartidos
  • No aísla mecanismos específicos detrás de los derrames